Metoda pretpostavljenih modova

7.2. Metoda pretpostavljenih modova

Razmotrimo sustav prisilnih vibracija grede. Pomak u je funkcija prostorne koordinate x i vremena t, u1(x),u2(x),...,un(x). Neka je skup n linearno nezavisnih funkcija koje su diferencijali prvog reda i zadovoljavaju geometrijske rubne uvjete sustava. Pretpostavljeno aproksimativno riješenje glasi:

Kinetička energija grede, prema aproksimaciji jednadžbe može se izračunati na sljedeći način:

Kinetička energija ima kvadratičnu formu:

gdje je

Potencijalna energija ima kvadratičnu formu:

gdje je:

Virtualni rad koje uzrokuju vanjske sile f(x,t)  zbog zbog virtualnog pomaka δu(x,t) je:

Virtualni rad može se zapisati u sljedećem obliku

gdje je:

Pretpostavljena metoda modova aproksimira riješenje prisilnih vibracija kontinuiranog sustava s n-stupnjeva slobode gibanja. Generalizirane koordinate sustava s n-stupnjeva slobode gibanja su koeficijenti funkcija w1(t),w2(t),...,wn(t). Primjenom Lagrangeovih jednadžbi na linearne sustave sa kvadratičnom formom energije, dovodi do formuliranja diferencijalne jednadžbe oblika:

gdje je M matrica mase, K je matrica krutosti a elementi vektora sile F. Ako se koristi zapis u obliku skalarnog produkta dobivamo:

Aproksimacije do n-te najniže vlastite frekvencije dobiva se kao kvadrati korjeni vlastitih vrijednosti M^-1*K. Odgovarajući vektori vlastitih vrijednosti koji se koriste (7.1) radi aproksimacije vlastitih formi za dobivene frekvencije. 

Vlastite frekvencije i vlastiti forme vibriranja

5.2.Vlastite frekvencije i vlastiti forme vibriranja

U prethodnom poglavlju pokazali smo kako je vlastite frekvencije sustava s n stupnjeva slobode gibanja pozitivni kvadratni korjeni vlastitih vrijednosti K^- 1*M.Vektori vlastitih formi su odgovarajući svojstveni vektori. Budući da su svi elementi masene matrice i matrice krutosti realni, svi koeficijenti u karakterističnoj jednadžbi su realni, a riješenja mogu u nekim slučajevima biti konjugirano kompleksna. Međutim može se pokazati zbog toga što su matrice M i K simetrične da će riješenje karakteristične jednadžbe biti relni korjeni (riješenja).Negativni korjeni su isto mogući međutim oni dovode do imaginarnih vrijednosti vlastitih frekvencija.

Pretpostavimo da sve vlastite vrijednosti od M^-1*K odgovaraju simetričnim matricama mase i krutosti pozitivne. Tada postoji n realnih vlastith frekvencija za koje vrijedi: ω1<ω2<...<ωn. Svaka vlastita vrijednost ωi^2 gdje je i=1,2,...,n ima odgovarajući netrivijalni vlastiti vektor, Xi, koji zadovoljava:

Ova vlastita forma, Xi je n-dimenzionalni stupčasti vektor oblika:

Budući da je ustav prethodno prikazanih jednadžbi homogen, vlastite forme nisu jednstvene. Međutim, ako   ωi^2 nije ponavljajući korjen karakteristične jednadžbe, tada postoji jedno linearno netrivijalno rješenje jednadžbe 5.10.

Riješenje vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora bitan je dio analize vibracija sustava s više stupnjeva slobode gbianja. Kvadratična formulacija koristi se pri pronalaženju korjena karakteristične jednadžbe za sustava s dva stupnje slobode gibanja. Vlastita frekvencija sustava s tri stupnja slobode gibanja dobiva se tražeći korjene  kubnog polinoma, a takav se polinom rješava primjenom iterativne metode. Algebarska kompleksnost rješenja raste eksponencijalno s porastom broja stupnjeva slobode gibanja. Razvoj karakterističnih jednadžbi za sustav s n- stupnjeva slobode gibanja zahtjeva evaluaciju nxn determinate, a n -vlastitih frekvencija su korjeni karakteristične jednadžbe. Numeričke metode koje ne zahtijevaju evaluaciju karakteristične jednadžbe koriste se za sustava s velikim brojem supnjeva slobode gibanja.