Processing math: 100%

Linearnizacija nelinearnog dinamičkog modela

U slučaju kada razmatramo male perturbacije oko nekog referentnog stanja, tada je moguće nelinearne jednadžbe stanja
˙x(t)=f(x(t),u(t)),


linearizirati oko referetnog stanja i dobiti linearnie diferencijalne jednadžbe koje opisuju dinamiku malih perturbacija.
Pretpostavimo da imamo referentno stanje  i  odgovarajući referentni upravljački vektor   U slučaju bez pertrubacija, referentni vektori zadovoljavaju nelinearnau jednadžbu stanja
˙ˉx(t)=f(ˉx(t),ˉu(t)),




U perturbiranom stanju, vektor stanja i upravljanja možemo prikazati na sljedeći način
x(t)=ˉx(t)+δx(t),u(t)=ˉu(t)+δu(t),



gdje su  i  male varijacije oko referentnog vektora stanja i upravljanja, respektivno. Uvrstimo li sada u dobivamo
˙ˉx(t)+δ˙x(t)=f(ˉx(t)+δx(t),ˉu(t)+δu(t)).



Prethodni izraz možemo razviti u Taylorov reda za i-tu komponentu (i = 1,....,n).
˙ˉxi+δ˙xi(t)=fi(ˉx(t),ˉu(t))+nj=1fixjδxj(t)+nj=1fiujδuj(t)




Gdje smo zanemarili članove drugog i viših redova zbog pretpostavke da su varijacije oko referentnog stanja dovoljno male. Usporedimo li izraz prethodnu jednadžbu s nelinearnom jednadžbom stanja, dobivamo
δ˙xi(t)=nj=1fixjδxj(t)+nj=1fiujδuj(t), i=1,2,...,n,


gdje su parcijalne derivacije u prethodnom izrazu funkcije referentnog stanja i upravljanja,  Sustav jednadžbi možemo prikazati u matričnom obliku
δ˙x(t)=A(t)δx(t)+B(t)δu(t),



gdje su Jakobiani A i B definirani sa
A(t)=[f1x1f1x2f1xnf2x1f2x2f2xnfnx1fnx2fnxn] B(t)=[f1u1f1u2f1unf2u1f2u2f2unfnu1fnu2fnun]





Drugim riječima, dobili smo linearni vremenski-varijabilni sustav diferencijalnih jednadžbi. U slučaju da je referentno stanje i upravljanje konstantno, tada su matraice A i B konstantne, odnosno imamo linearni vremenski – invarijanti sustav. 

Nema komentara:

Objavi komentar