˙x(t)=f(x(t),u(t)),
linearizirati oko referetnog stanja i dobiti linearnie
diferencijalne jednadžbe koje opisuju dinamiku malih perturbacija.
Pretpostavimo da imamo referentno stanje
i odgovarajući referentni upravljački vektor
U slučaju bez pertrubacija, referentni vektori
zadovoljavaju nelinearnau jednadžbu stanja
˙ˉx(t)=f(ˉx(t),ˉu(t)),
˙ˉx(t)=f(ˉx(t),ˉu(t)),
U perturbiranom stanju, vektor stanja i upravljanja možemo
prikazati na sljedeći način
x(t)=ˉx(t)+δx(t),u(t)=ˉu(t)+δu(t),
x(t)=ˉx(t)+δx(t),u(t)=ˉu(t)+δu(t),
gdje su
i
male varijacije
oko referentnog vektora stanja i upravljanja, respektivno. Uvrstimo li sada u
dobivamo
˙ˉx(t)+δ˙x(t)=f(ˉx(t)+δx(t),ˉu(t)+δu(t)).
˙ˉx(t)+δ˙x(t)=f(ˉx(t)+δx(t),ˉu(t)+δu(t)).
Prethodni izraz možemo razviti u Taylorov reda za i-tu
komponentu (i = 1,....,n).
˙ˉxi+δ˙xi(t)=fi(ˉx(t),ˉu(t))+n∑j=1∂fi∂xjδxj(t)+n∑j=1∂fi∂ujδuj(t)
˙ˉxi+δ˙xi(t)=fi(ˉx(t),ˉu(t))+n∑j=1∂fi∂xjδxj(t)+n∑j=1∂fi∂ujδuj(t)
Gdje smo zanemarili članove drugog i viših redova zbog
pretpostavke da su varijacije oko referentnog stanja dovoljno male. Usporedimo
li izraz prethodnu jednadžbu s nelinearnom jednadžbom stanja, dobivamo
δ˙xi(t)=n∑j=1∂fi∂xjδxj(t)+n∑j=1∂fi∂ujδuj(t), i=1,2,...,n,
δ˙xi(t)=n∑j=1∂fi∂xjδxj(t)+n∑j=1∂fi∂ujδuj(t), i=1,2,...,n,
gdje su parcijalne derivacije u prethodnom izrazu funkcije
referentnog stanja i upravljanja,
Sustav
jednadžbi možemo prikazati u matričnom obliku
δ˙x(t)=A(t)δx(t)+B(t)δu(t),
δ˙x(t)=A(t)δx(t)+B(t)δu(t),
gdje su Jakobiani A i B definirani sa
A(t)=[∂f1∂x1∂f1∂x2⋯∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2⋯∂f2∂xn⋮⋮⋱⋮∂fn∂x1∂fn∂x2⋯∂fn∂xn] B(t)=[∂f1∂u1∂f1∂u2⋯∂f1∂un∂f2∂u1∂f2∂u2⋯∂f2∂un⋮⋮⋱⋮∂fn∂u1∂fn∂u2⋯∂fn∂un]
A(t)=[∂f1∂x1∂f1∂x2⋯∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2⋯∂f2∂xn⋮⋮⋱⋮∂fn∂x1∂fn∂x2⋯∂fn∂xn] B(t)=[∂f1∂u1∂f1∂u2⋯∂f1∂un∂f2∂u1∂f2∂u2⋯∂f2∂un⋮⋮⋱⋮∂fn∂u1∂fn∂u2⋯∂fn∂un]
Drugim riječima, dobili smo linearni vremenski-varijabilni
sustav diferencijalnih jednadžbi. U slučaju da je referentno stanje i
upravljanje konstantno, tada su matraice A i B konstantne, odnosno imamo
linearni vremenski – invarijanti sustav.
Nema komentara:
Objavi komentar