Specifičnost nelinearnih dinamičkih sustava

Nelinearni dinamički sustavi imaju neka specifična svojstva koja se ne opažaju kod linearnih dinamičkih sustava. Ta svojstva je bitno istaknuti kako bi se dodatno naglasio oprez prilikom nekritične linearizacije nelinearnih dinamičkih sustava. Linearizacijom takvih sustava razaramo navedene osobine sustava, što znači da se linearna aproksimacija može totalno razlikovati u području gdje se dotične osobine ispoljavaju. Navodimo samo one osobine koje se ne mogu pojaviti kod linearnih sustava .

Višestruke fiksne točke. Nelinearni sustavi mogu imati više fiksnih točaka, ili točke ravnoteže. Fiksne ili ravnotežne točke kod nelinearnih autonomnih sustava
$$\dot{x}=f\left( x \right),\text{ }x\left( 0 \right)={{x}_{0}}$$

su oni vektori stanja  za koje je , odnosno koji zadovoljavaju.
$$f\left( {{x}^{*}} \right)=0.$$

Kod linearnih autonomnih sustava postoji samo jedno ravnotežno stanje

Primjer: Jedan jednostavan primjer višestrukih fiksnih točaka je jednadžba slobodnih njihala
$$\ddot{x}+\frac{g}{l}\sin \left( x \right)=0,$$

gdje je x kut njihala od položaja ravnoteže, g je gravitacijska konstanta, a l je duljina njihala. Ravnotežne točke definirane su jednadžbom , čije rješenje je , gdje je n bilo koji prirodni borj. Drugim riječima, imamo beskonačni broj fiksnih točaka.

Konačno vrijeme 'bijega' (finite escape time). Razmotrimo sljedeći nelinearni sustav prvog reda
$$\dot{x}=-x+{{x}^{2}}=0,\text{ }x\left( 0 \right)={{x}_{0}}.$$

Navedeni sustav ima dvije fiksne točke definirane jednadžbom , odnosno  Također, postoji analitičko rješenje u ovisnosti o početnim uvjetima
$$x\left( t \right)=\frac{{{x}_{0}}{{e}^{-t}}}{1-{{x}_{0}}+{{x}_{0}}{{e}^{-t}}},$$

Na osnovu rješenja vidimo da za početne uvjeti  rješenje konvergira nulu, odnosno sustav je stabilan. Za  rješenje je konstantno  dok za sustav divergira u beskonačnost i to u konačnom vremenu koje određujemo tako da nazivnik rješenje izjednačimo s nulom, odnosno

Granični krugovi (limit cycles). Linearni sustavi mogu imati oscilatorno ponašanje u slučaju vanjske harmoničke popbude, ili u slučaju granične stabilnosti – kada se polovi nalaze na imaginarnoj osi. S obzirom da relani i imaginarni dio svojstvenih vrijednosti ovise o parametirma sustava, svaka mala promjena parametara može sustav prebaciti iz oscilatornog moda u mod s prigušenim oscilacijama (stabilan) ili slobodnim oscilacijama (nestabilan). Također, amplituda oscilacija će direktno ovistiti o početnim uvjetima.

S druge strane, nelinearni sustavi mogu pokazivati svojstvo samopobuđenih oscilacija konstantne amplitude i frekvencije. Pri tome amplituda oscilacija ne ovisi o početnim uvjetima – svi početni uvjeti konvergiraju oscilacijama iste amplitude. Također, promjenama parametara sustava utjećemo eventualno na amplitudu i frekvenciju ali ne razaramo oscilatorno ponašanje

Primjet takvog graničnog kruga (Limit cycle) je Van der Polov oscilator.
$$m\ddot{x}+2c\left( {{x}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+kx=0,$$

gdje su m, c i k poztivne konstante. Mehanička interpretacija Van der Polove jednadžbe je mehanički osvilator s prigušenjem koje ovisi o poziciji. Kod RLC krugova, navedena jendadžba odgovara krugu s nelinearnih (negativnim) otporom.

Viši harmonici. Ako je pobuda linearnog sustava harmonička funkcija konstantne frekvencije i amplitude, tada će izlaz sustava biti harmonička funkcija iste frekvencije s pomakom u fazi i amplitude koja se općenito razlikuje od ulazne amplitude. Kod nelinearnih sustava hramonička pobuda odgovarajuće frekvencije rezultirat će izlazom koji će sadržavati harmonik osnovne frekvencije, te harmonik višeg reda.

Bifurkacije - Kod linearnih sustava s promjenom parametara sustava stabilna fiksna točka kod neke vrijednosti parametara postaje granično stabilna, a zatim nestabilna. Kod nelinearnih sustava promjenom parametara, stabilna fiksna točka kod određene vrijednosti parametara (kritična točka ili bifurkacijska vrijednost) postaje lokalno nestabilna i sustav prelazi u novo, stabilno ravnotežno stanje. Navedeni fenomen naziva se bifurkacija. Drugim riječima, bifurkacija je pojava kada kvantitativna promjena parametara sustava uzrokuje kvalitativnu promjenu ponašanja sustava.

Kaos – Kod linearnih sustava male razlike u početnim uvjetima uzrokuju male razlike u trajektorijama koje odgovaraju početnim uvjetima. Kod nelinearnih sustava moguć je tzv. kaotično ponašanje. Kaos je pojava kada dvije trajektorije s bliskim početnim uvjetima, tijekom vremena postanu potpuno različite. Drugim rječima, ponašanje sustava je ekstremno osjetljivo na početne uvjete i nemoguće je raditi dugoročne predikcije kaotičnih sustava. Tipičan primjer je Lorentzov model, kranje pojednostavljen model vremena u obliku tri nelinearne diferencijalne jednadžbe, koji pokazuje kaotično ponašanje.