Metoda pretpostavljenih modova

7.2. Metoda pretpostavljenih modova

Razmotrimo sustav prisilnih vibracija grede. Pomak u je funkcija prostorne koordinate x i vremena t, u1(x),u2(x),...,un(x). Neka je skup n linearno nezavisnih funkcija koje su diferencijali prvog reda i zadovoljavaju geometrijske rubne uvjete sustava. Pretpostavljeno aproksimativno riješenje glasi:

Kinetička energija grede, prema aproksimaciji jednadžbe može se izračunati na sljedeći način:

Kinetička energija ima kvadratičnu formu:

gdje je

Potencijalna energija ima kvadratičnu formu:

gdje je:

Virtualni rad koje uzrokuju vanjske sile f(x,t)  zbog zbog virtualnog pomaka δu(x,t) je:

Virtualni rad može se zapisati u sljedećem obliku

gdje je:

Pretpostavljena metoda modova aproksimira riješenje prisilnih vibracija kontinuiranog sustava s n-stupnjeva slobode gibanja. Generalizirane koordinate sustava s n-stupnjeva slobode gibanja su koeficijenti funkcija w1(t),w2(t),...,wn(t). Primjenom Lagrangeovih jednadžbi na linearne sustave sa kvadratičnom formom energije, dovodi do formuliranja diferencijalne jednadžbe oblika:

gdje je M matrica mase, K je matrica krutosti a elementi vektora sile F. Ako se koristi zapis u obliku skalarnog produkta dobivamo:

Aproksimacije do n-te najniže vlastite frekvencije dobiva se kao kvadrati korjeni vlastitih vrijednosti M^-1*K. Odgovarajući vektori vlastitih vrijednosti koji se koriste (7.1) radi aproksimacije vlastitih formi za dobivene frekvencije.