Vlastite frekvencije i vlastiti forme vibriranja

5.2.Vlastite frekvencije i vlastiti forme vibriranja

U prethodnom poglavlju pokazali smo kako je vlastite frekvencije sustava s n stupnjeva slobode gibanja pozitivni kvadratni korjeni vlastitih vrijednosti K^- 1*M.Vektori vlastitih formi su odgovarajući svojstveni vektori. Budući da su svi elementi masene matrice i matrice krutosti realni, svi koeficijenti u karakterističnoj jednadžbi su realni, a riješenja mogu u nekim slučajevima biti konjugirano kompleksna. Međutim može se pokazati zbog toga što su matrice M i K simetrične da će riješenje karakteristične jednadžbe biti relni korjeni (riješenja).Negativni korjeni su isto mogući međutim oni dovode do imaginarnih vrijednosti vlastitih frekvencija.

Pretpostavimo da sve vlastite vrijednosti od M^-1*K odgovaraju simetričnim matricama mase i krutosti pozitivne. Tada postoji n realnih vlastith frekvencija za koje vrijedi: ω1<ω2<...<ωn. Svaka vlastita vrijednost ωi^2 gdje je i=1,2,...,n ima odgovarajući netrivijalni vlastiti vektor, Xi, koji zadovoljava:

Ova vlastita forma, Xi je n-dimenzionalni stupčasti vektor oblika:

Budući da je ustav prethodno prikazanih jednadžbi homogen, vlastite forme nisu jednstvene. Međutim, ako   ωi^2 nije ponavljajući korjen karakteristične jednadžbe, tada postoji jedno linearno netrivijalno rješenje jednadžbe 5.10.

Riješenje vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora bitan je dio analize vibracija sustava s više stupnjeva slobode gbianja. Kvadratična formulacija koristi se pri pronalaženju korjena karakteristične jednadžbe za sustava s dva stupnje slobode gibanja. Vlastita frekvencija sustava s tri stupnja slobode gibanja dobiva se tražeći korjene  kubnog polinoma, a takav se polinom rješava primjenom iterativne metode. Algebarska kompleksnost rješenja raste eksponencijalno s porastom broja stupnjeva slobode gibanja. Razvoj karakterističnih jednadžbi za sustav s n- stupnjeva slobode gibanja zahtjeva evaluaciju nxn determinate, a n -vlastitih frekvencija su korjeni karakteristične jednadžbe. Numeričke metode koje ne zahtijevaju evaluaciju karakteristične jednadžbe koriste se za sustava s velikim brojem supnjeva slobode gibanja.